복소수 (Complex number)(3)- 봄벨리의 허수 연산

3차 방정식의 근의 공식을 다루기 이전에도 루트 안의 값이 음수가 되는 상황은 있었다. 단지 2차 방정식에서는 그 해를 고려할 이유가 없었다. 루트 안의 값이 음수가 되면 그 방정식에는 실수 근이 존재하지 않았기 때문이다. 하지만 3차 방정식은 항상 실수 해가 하나 이상 존재하기 때문이다. 봄벨리(Rafael Bombelli)가  l’Algebra에서 다음과 같은 식을 다루면서 난관에 봉착했다.

이 3차 방정식은 실수 해가 존재할 뿐만 아니라 The Rational root theorem으로 유리수 해 4를 구할 수 있다. 하지만 카르다노의 공식에 의하면 이 방정식의 해는 다음과 같다.

카르다노 공식에 오류가 없다면 이 값도 4가 되어야 했다. 따라서 봄벨리는 위의 카르다노 공식에 의해 구한 값이 4가 됨을 보여야 했다. 봄벨리는 위의 값이 정수 4가 되기 위해서는 세제곱근 안의 값이 다음과 같은 형태가 되어 항이 상쇄 되어야 한다고 생각했다.

x에 4를 대입하면 a값 2를 구할 수 있다. b 값을 구하기 위해 을 전개하면

이 값은 원래의 세제곱근 안의 값과 같아야 한다.

위의 식으로 부터 2개의 방정식을 얻을 수 있다.

첫번째 방정식에 a값 2를 대입하면 b의 값을 구할 수 있다.

두개의 b값이 구해졌다. 이 b값은 두번째 방정식도 만족시켜야 하므로 두개의 b값을 차례로 대입해 두번째 방정식을 만족하는 b값을 찾는다.

a=2, b=1을 대입하면

a=2, b=-1을 대입하면

두 식 모두를 만족시키는 b값은 1이 된다. 따라서 카르다노 공식으로 구한 해의 최종 형태는 다음과 같다.

봄벨리는 이런 연산을 거쳐  식에서도 카르다노의 공식이 성립함을 보였다. 하지만 당시 봄벨리는 의 중요성을 아직 알지 못했고 결과를 얻기 위해 치트키를 사용한 것처럼 느꼈었다. 복소수는 16세기 봄벨리의 최초 연산 시도를 거쳐 18세기 오일러 공식 의 발견으로 기본적인 대수 성질들이 밝혀진다.