linear algebra - 원형 물체에 반사되는 빛의 반사각(2)

이전 글에서 공과 만나는 평면이 수평일 경우 공이 어떻게 튕겨질지 살펴 보았었다. 이번 글에서는 그 평면이 수평이 아닐 경우를 살펴 볼 것이다. 부딪치는 면이 수평이 아닌 경우는 그 해를 구하는 것이 생각보다 까다롭다. 최대한 그림을 나누어서 설명을 할 것이지만 주의를 기울이지 않으면 많은 기하학적 요소들 속에서 길을 잃을 수 있으므로 집중이 좀 필요하다.

위의 그림은  의 궤적으로 움직이는 공이  평면과 만나는 상황을 표현하고 있다. 반사 각을 찾기 위해서는 수평 면과 공이 만났을 경우와 같이 먼저 평면과 만났을 때의 공의 중심 좌표를 구해야 한다.

공이 직선과 만났을 때의 원의 중심 좌표 T는 원래의 평면을 형성하는 직선 보다 원점으로 공의 반지름 r만큼 가까운 거리로  평행 이동한 직선 와 원의 궤적 직선이 만나는 곳이다. 따라서 우리는 직선의 방정식을 먼저 구해야 한다. 직선의 방정식을 표현하는 방법에는 여러가지가 있다. 가장 일반적인 형태인

직선의 기울기 형태로 표현한

특정 지점을 통과하는 것으로 표현한

이 3가지 형태가 가장 널리 쓰이고 모두가 잘 알고 있는 직선의 방정식 표현식이다. 잘 알려져 있지는 않지만 원점으로부터 직선이 얼마나 떨어져 있는지 알 수 있게 표현하는 직선의 방정식 형태가 있다.

공의 반지름 r만큼 원점으로 가까이 평행 이동한 직선의 방정식을 구하기 위해 위의 그림에서 나오 듯이 직선의 방정식 의 일반 식 형태로부터 원점으로부터 거리의 형태로 변환한 다음 그 구한 p 값에서 반지름 r 값을 빼면 방정식을 구할 수 있다. 방정식을 구했다면 이제 과  가 만나는 지점도 구할 수 있다. 컴퓨터로 이 문제를 풀기 위해서는 우리는 추상적으로 표현된 저 식을 손으로 풀어야 한다.

의 식을

의 식을

이라고 했을 때 식에 y 값 대신에 의 y를 x항으로  표현된 값으로 바꾸면 다음과 같은 식을 얻는다

.이 식으로 x의 값을 구하면

공식을 찾아 내는데 수작업이 조금 필요하긴 하지만 위의 식도 훌륭하다. 어떤 평면이 주어지더라도 위의 식으로 모두 다 해를 구할 수 있기 때문이다. 컴퓨터 연산 시간 관점에서도 analytical(해석적) 방법은 컴퓨터가 그 식을 계산을 해 낼 수만 있다면 언제나 수치 해석적 방법보다 우수하다. 하지만 위의 수식이 항상 적용되는 것은 아니다.  이 수직으로 움직인다고 생각해 보자. 그러면 위의 식으로 해를 구할 수 없다. 그럴 경우 식으로 x값을 구한 다음 그 x값을 에 대입해 y값을 구하도록 따로 프로그래밍을 하여야 한다. 그리고 이 글의 목적이 선형대수를 응용하는 실전 예를 보이는 것이므로 저런 analytical 방법보다 linear algebra(선형대수)에서 배우게 되는 가우스 소거법(gauss elimination) 더 정확히 말하면 LU factorization을 이용해 문제를 풀고자 한다.

누가 가르치던 어떤 기본 linear algebra(선형대수) 교재든 첫 장에 등장하는 것이 가우스 소거법(gauss elimination)이다. 가우스 소거법은 원래가 위와 같이 임의의 미지수 숫자와 미지수 개수와 동일한 선형방정식이 주어졌을 때 그 미지수 값을 구하기 위해 고안 되었다. 그리고 이 방법은 가우스가 고안한 알고리즘이 아니다. 이미 기원 전에 중국에서 개발한 방법이었다. 가우스 소거법은 다음과 같은 행렬 벡터 식을 푸는 방법이다.

X는 미지수 벡터이고 B는 결과 값 벡터이며 A는 선형 방정식의 coefficent(계수)들로 구성된 행렬이다. 이 식은 대단히 중요한데 기본 linear algebra(선형대수) 과정의 반을 가우스 소거법과 저 식의 결과 값들의 의미를 탐구하는데 소모하기 때문이다.

다음 글에서는 이 가우스 소거법과 LU factorization의 풀이 과정을 간단히 소개를 한 뒤 계속해서 원래 찾고자 하는 볼의 반사 각을 찾는 여정을 다시 시작할 것이다.