소소한 기록들

주변에서 쉽게 접할 수 없는 수학적 이야기 더 정확히는 수학과 연관된 과학 이야기를 풀어보려 시작했던 연재가 어느 덧 고등학교에서 배우게 되는 최종 단계인 적분까지 왔다. 의도적으로 계획한 것은 아니지만 우연히 순차적 단계를 밟아 적분까지 글을 이어 올 수 있었다는 것은 뿌듯하다.적분은 통계/확률과 더불어 우리나라 고등학교에서 배우게 되는 가장 최신 이론이다. 우리가 고등학교에서 배우는 적분은 19세기 말에서 20세기 초에 확립이 되었으니 정말 최신 중에 최신의 기술이라고 할 수 있고 지금 우리가 누리는 현대 과학 혜택의 많은 부분이 미적분의 공이라고 해도 과언이 아니다. 공학에서 문제를 해결하기 위해 직접적으로 적분을 사용하였던, 공학 관련 이론을 유도하기 위해 적분을 이용했던지 간에 19세기 말에서 ..

Taylor series(테일러 급수)는 함수를 다항식의 합으로 근사화한 식을 말한다. 함수에 따라 제한된 범위 안에서만 Taylor series가 성립할 수도 있고 전체 실수나 복소수 범위에서 Taylor series가 성립할 수도 있다. Taylor series의 정의는 다음과 같다.그닥 쓸모없어 보일지도 모르지만 삼각함수를 해석하는데 중요한 역할을 담당한다. Taylor series 덕분에 복소 지수를 정의하는 오일러 공식이 탄생할 수 있었다. 그리고 오일러 공식 덕분에 cos, sin 함수는 복소수 형태로 다시 표현 될 수 있었다. 복소수 형태로 표현하지 않았다면 계산하기 불가능했을 식을 계산해 낼 수 있었고 복잡하게 sin, cos으로 구성된 식을 복소수 형태로 식을 단순화 시켰다. 또는 같이 ..

보통 다이내믹 시스템을 말하면 미분방정식 (differential equation)을 이야기 하지만 넓게 보았을 때 미분과 적분도 다이내믹 시스템으로 볼 수 있을 것이다. 시간에 따라 변화하는 시스템, 이런 물리 모델을 수학 모델로 바꾸면 미분방정식(differential equation), 미적분(calculous)이 된다. 또한 이런 물리 모델이 역학이든 회로이든 상관없이 동일한 수학 모델로 바뀐다는 사실에 아이디어를 얻어 기계 공학적 문제를 회로 문제로 변환하거나 반대로 회로 모델을 기계 공학 모델로 변환하는 연구도 있다. 문과가 아닌 이과계열을 선택해 대학에 진학했다면 언제 어디서 맞닥뜨릴지 알 수 없는 것이 미적분이다. 벡터에서도 벡터의 미분과 적분을 다루고 미적분과 아무런 관련이 없어 보이는 ..

(1) 이전 글에서 구한 반사각 벡터를 구한 공식이 있으므로 빛이 구체에 반사될 때의 반사각에 관한 문제는 단순히 원의 접선에 수직인 벡터를 구하는 문제로 좁혀진다.u 벡터를 구하기 위해서는 일단 빛의 진행 경로와 원이 만나는 지점 T를 구해야 한다. y 가 만드는 직선의 방정식이 다음과 같고 원의 방정식이 다음과 같이 주어 졌을 때 직선과 원이 만나는 지점은 두 가지 방식으로 구할 수 있다. 가장 쉽게 떠오르는 방법은 직선의 방정식을 x나 y에 관한 식으로 바꾸고 이를 원의 방정식에 대입해 2차 방정식의 근을 구하는 방법이다. 물론 이 방법으로 구한 해의 값도 정확하다. 문제는 구한 해의 방정식이 거의 암호에 가깝다는 점이다. 숫자로 방정식을 다를 때와 문자로 방정식을 다룰 때의 차이는 숫자로 다룰 때..

지난 글에서 아무런 설명 없이 벡터를 사용하였는데 이번 글에서 먼저 벡터란 무엇인지 살펴보고 이야기를 진행하고자 한다.물리학(physics)에서 말하는 벡터와 선형대수(linear algebra) 벡터가 정확히 일치하지는 않는다. 하지만 서로 변환 가능하고 계산 결과를 공유한다. 물리학 벡터라고 얘기했을 때 벡터는 고정된 지점에 있지 않다. 전 좌표계를 돌아 다닐 수 있다.위에 그림에 보이는 4개의 벡터는 모두 동일한 벡터이다. 하지만 선형대수에서 벡터는 항상 원점을 통과해야 한다. 원점을 통과하는 벡터만이 벡터 공간(vector space)라고 부를 수 있다. 왜냐하면 vector space의 정의에 따라 벡터에 임의 scalar 수를 곱한 결과는 vector space 안에 존재해야 하는데 그 임의의..

지난 linear algebra - 원형 물체에 반사되는 빛의 반사각(2)에서 원의 중심을 찾는데 급급해서 normal form이라고 알려진 새롭게 도입한 직선의 방정식 에 관해 진지하게 고민하지 못했다. 이 방정식에 대해 좀 더 꼼꼼히 살펴 본 뒤 이전에 구한 방정식에 문제가 없는지, 문제가 있다면 해결책은 무엇인지 먼저 살펴 볼 것이다.normal form에서 p값은 원점과 직선 사이의 거리를 나타내는 값으로 직선이 1사분면, 2사분면, 3사분면, 4사분면에 나타나는 것과 상관없이 항상 양수의 값이다. 이것이 normal form으로 직선의 방정식을 바꿀 때 에서 +값을 취할지 - 값을 취할지를 결정할 때의 규칙이다. 컴퓨터 화면에서는 3사분면의 직선은 나오지 않으므로 고려할 필요가 없지만 1사분면,..

공의 반사 각을 그리고 궁극적으로 빛이 구체에서 반사 될 때의 반사 각을 찾기 위한 여정에서 잠깐 벗어나 선형 방정식의 미지수 해를 찾는 방법인 Gaussian Elimination(가우스 소거법)을 잠시 살펴 볼 것이다. 두 직선의 방정식이 교차하는 지점을 찾는 것이 무엇이 특별하냐 할지 모르겠지만 모든 학문들이 다 그렇듯 이 단순한 특수 사례로부터 완전히 일반적인 공식을 이끌어내어 10개의 미지수 또는 100개의 미지수와 10개 또는 100개의 linear equation으로부터 미지수 해를 찾아낼 수 있기 때문에 Gaussian Elimination(가우스 소거법)은 공학에서 대단히 중요한 역할을 한다. 그리고 이 방법이 linear equation을 푸는 컴퓨터의 가장 일반적인 방식이므로 octa..

이전 글에서 공과 만나는 평면이 수평일 경우 공이 어떻게 튕겨질지 살펴 보았었다. 이번 글에서는 그 평면이 수평이 아닐 경우를 살펴 볼 것이다. 부딪치는 면이 수평이 아닌 경우는 그 해를 구하는 것이 생각보다 까다롭다. 최대한 그림을 나누어서 설명을 할 것이지만 주의를 기울이지 않으면 많은 기하학적 요소들 속에서 길을 잃을 수 있으므로 집중이 좀 필요하다. 위의 그림은 의 궤적으로 움직이는 공이 평면과 만나는 상황을 표현하고 있다. 반사 각을 찾기 위해서는 수평 면과 공이 만났을 경우와 같이 먼저 평면과 만났을 때의 공의 중심 좌표를 구해야 한다. 공이 직선과 만났을 때의 원의 중심 좌표 T는 원래의 평면을 형성하는 직선 보다 원점으로 공의 반지름 r만큼 가까운 거리로 평행 이동한 직선 와 원의 궤적 직..

한국어로 선형대수, 영어로 Linear Algebra라는 부르는 수학의 한 분야는 컴퓨터 알고리즘과 수학 알고리즘이 거의 일치한다. 선형대수를 제외하면 대부분은 흔히 우리가 수업 시간에 배우는 analytical method와 실제로 컴퓨터로 해를 구하고자 했을 때 적용하는 numerical method(수치 해석) 사이에 상당한 방법론적 차이가 존재하기 때문에 따로 수치 해석이라는 것을 따로 배워야 프로그래밍이 가능하다. 하지만 선형대수는 교실에서 배운 알고리즘을 그대로 컴퓨터로 프로그래밍하여 쓸 수 있다. 심지어 BLAS(Basic Linear Algebra Subprograms) 라는 프로그래밍 표준 사양까지 정의하고 있다.거의 모든 공대생들이 사랑하는 선형대수는 다른 수학적 배경 지식 없이 4칙 ..

실제 수치의 계산은 Matlab과 언어 호환성이 있는 GNU 프로그램인 octave를 이용하였다. 삼각형 면적의 일반 공식 삼각형의 면적을 구하는 공식은 아주 단순하다. 제일 초급 공식이 밑변과 높이가 주어졌을 때 쓰는 (밑변 * 높이)/2 가 있다. 양변의 길이와 두 변 사이의 각이 주어졌을 때는이 단순해 보이는 문제가 실제로는 그렇게 간단하지 않다. 현실에서 문제를 해결할 때는 대부분 저런 값들이 안 주어진다. 각 변의 길이와 변 사이의 각을 스스로 찾아야 한다. 3점의 좌표가 주어졌을 때 그 세 점이 만드는 삼각형의 면적을 구하는 문제를 생각해 보자.이 문제를 푸는 방법은 기울기를 구하는 초급 수학 기술부터 벡터의 cross product나 적분을 활용하는 방법까지 다양하다. (1) 직선의 기울기 ..