linear algebra - 원형 물체에 반사되는 빛의 반사각(4)

지난 글에서 아무런 설명 없이 벡터를 사용하였는데 이번 글에서 먼저 벡터란 무엇인지 살펴보고 이야기를 진행하고자 한다.

물리학(physics)에서 말하는 벡터와 선형대수(linear algebra) 벡터가 정확히 일치하지는 않는다. 하지만 서로 변환 가능하고 계산 결과를 공유한다. 물리학 벡터라고 얘기했을 때 벡터는 고정된 지점에 있지 않다. 전 좌표계를 돌아 다닐 수 있다.

위에 그림에 보이는 4개의 벡터는 모두 동일한 벡터이다. 하지만 선형대수에서 벡터는 항상 원점을 통과해야 한다. 원점을 통과하는 벡터만이 벡터 공간(vector space)라고 부를 수 있다. 왜냐하면 vector space의 정의에 따라 벡터에 임의 scalar 수를 곱한 결과는 vector space 안에 존재해야 하는데 그 임의의 수에 0이 들어가기 때문이다. 따라서 원점을 통과하지 않는 벡터는 vector space라고 부를 수 없고 일반적인 행렬 연산에 사용할 수 없다. 벡터가 만드는 무한히 긴 직선 상의 모든 벡터는  linear dependent 하다. 따라서 linear independent한 벡터를 찾을 때는 0을 제외하고는 그 vector space와 만나지 않는 벡터를 찾아야 한다. linear algebra에서 말하는 linear independent가 바로 이것이다.

현재 우리가 다루는 내용에서는 벡터의 길이는 중요하지 않다. 우리에게는 벡터의 방향만이 중요하다. 따라서 직선의 방정식을 벡터로 나타낼 때 벡터 길이가 1인 단위 벡터를 찾아야 한다. 직선의 방정식을 벡터로 나타냈을 때 벡터 연산을 할 수 있다는 것 이외에 애니메이션을 구현 할 때 일정 거리를 이동한 물체의 좌표를 찾는데도 편리하다. 단위 벡터의 길이가 1이므로 단순히 구하고자 하는 거리 값을 벡터에 곱하면 좌표가 나온다. 벡터에는 방향 정보가 포함되어 있으므로 동일한 방향으로 계속 움직일 때는 부호를 생각할 필요도 없다. 벡터와 동일한 방향은 항상 (+), 반대 방향은 항상 (-)가 된다. 우리는 지난 글부터 모든 직선의 방정식을 normal form으로 표시하고 있다.

위 방정식의 벡터는

부호는 벡터 방향에 따라 정해진다.

 점 T를 구했다면 의 방향을 아는 것은 어렵지 않다.  T의 중심 좌표에서 현재 원의 중심 좌표를 빼면 벡터의 x, y 성분의 부호를 알 수 있기 때문이다.

직선의 방정식이 다음 과 같을 때

수직인 직선의 방정식은

이 직선의 방정식의 단위 방향 벡터는 다음과 같다.

직선에 수직인 벡터의 부호는 아래와 같은 식으로 구한 두 좌표 중 원래의 원의 중심과 가까운 거리의 좌표를 생산하는 부호를 선택하면 된다.

지금까지 벡터란 무엇이면 직선의 방정식에서 어떻게 단위 방향 벡터를 구할 수 있는지 살펴 보았다.

지금까지 구한 단위 벡터들로 회전 변환 행렬의 연산 없이 직접 ref 벡터를 구할 수 있다. 벡터의 othogonal projection(정사영)을 이용하는 방법이다.

vector y가 vector space u에 투영된 vector 를 벡터 u와 scalar 값 α의 곱으로 나타낼 수 있다.

벡터 u와   는 수직이기 때문에 이 두 벡터의 내적은 0가 된다. 다음과 같은 식을 세울 수 있다.

따라서 α값과 는 다음과 같이 된다.

값과 y 값으로 반사되는 벡터 ref를 구하기 위해 다음 그림을 참고하자.

바로 이 식이 우리가 구하고자 하는 반사각의 방향 벡터이다.

다시 원래의 문제로 돌아가서 우리가 구하고자 하는 ref는 벡터가 직선에 수직인 벡터를 기준으로 반사된 벡터이다. 따라서 우리는 u 벡터를  위에서 구한 에 수직인 벡터로 대체하고 y 벡터를  의 단위 방향 벡터로 바꾸면 ref 벡터를 구할 수 있다. 이미 방향 성분이 의 단위 방향 벡터와 직선에 수직인 방향 벡터에 포함되어 있기 때문에 결과물인 ref 벡터도 정확한 방향 성분이 이미 포함되어 있어 방향을 정하기 위해 따로 부호를 결정할 필요가 없다.

이 식은 공간이 3차원으로도 확장되어도 수식을 전혀 변경하지 않고도 사용할 수 있다. 따라서 회전 변환 행렬을 이용한 것보다 더 범용적이라고 볼 수 있다. 큰 차이가 나는 것은 아니지만 회전 변환 행렬보다 더 적은 연산을 요구한다. 다음 linear algebra 마지막 글에서는 원의 표면에서 반사되는 빛의 반사각을 찾을 때 이 식을 이용할 것이다.