소소한 기록들

2차원 회전 숫자 복소수 발견 이전까지 인류는 숫자를 1차원이라고 생각했다. 즉 직선 위에 위치하는 하나의 점이라고 여겼던 것이다. 이런 개념은 인류 문명사의 대부분의 기간을 지배했었다. 복소수 이전에 사람들이 생각하던 숫자의 모습을 그림으로 표현하면 아래와 같다. 고도로 과학 기술이 발전한 현대에서도 일상에서 수학적 문제를 다룰 필요가 없는 사람들은 아직도 숫자가 저렇게 직선 위의 한 점이라고 생각한다. 그만큼 1차원 숫자는 대부분의 일상적인 직관과 잘 일치한다. 하지만 17세기 복소수의 발견을 시작으로 19세기 기하학적 정의를 거치면서 이런 숫자의 개념을 변화 시켰다. 흔히 말하는 벡터도 이런 다차원적 숫자 중 하나로 볼 수 있다. 벡터는 복소수에서 연구에서 파생된 결과물로 벡터와 결합된 행렬 연산은..

3차 방정식의 근의 공식을 다루기 이전에도 루트 안의 값이 음수가 되는 상황은 있었다. 단지 2차 방정식에서는 그 해를 고려할 이유가 없었다. 루트 안의 값이 음수가 되면 그 방정식에는 실수 근이 존재하지 않았기 때문이다. 하지만 3차 방정식은 항상 실수 해가 하나 이상 존재하기 때문이다. 봄벨리(Rafael Bombelli)가 l’Algebra에서 다음과 같은 식을 다루면서 난관에 봉착했다.이 3차 방정식은 실수 해가 존재할 뿐만 아니라 The Rational root theorem으로 유리수 해 4를 구할 수 있다. 하지만 카르다노의 공식에 의하면 이 방정식의 해는 다음과 같다.카르다노 공식에 오류가 없다면 이 값도 4가 되어야 했다. 따라서 봄벨리는 위의 카르다노 공식에 의해 구한 값이 4가 됨을 ..

오랫동안 수학적 난제였던 3차 방정식의 일반해가 16세기에 들어와 풀리게 된다. 2차원 숫자인 복소수의 발견을 낳게 되는 3차 방정식의 일반해는 3차원 도형의 부피를 관찰하여 유도되었다. 수의 발견을 돌이켜 보면 유리수까지는 1차원 직선 상에서 발견될 수 있었고 무리수는 2차원 도형인 삼각형을 관찰하는 과정에서 발견되었다. 그런 발견의 역사를 되풀이해 복소수가 3차원 도형의 관찰로부터 발견되었다는 사실은 복소수 이상의 더 고차원적인 숫자가 있다면 아마도 4차원 또는 5차원의 도형으로부터 발견될 것이란 사실을 의미하는 것은 아닐까? 20세기 이전까지는 3차원 그래프를 완벽하게 그려 낼 수 없었던 것과 마찬가지로 강력한 컴퓨터를 보유한 현대에도 완벽한 4차원 도형을 표현할 길이 아직은 없다. 방정식의 일반해..

복소수는 3차 방정식의 일반해를 구하는 과정에서 발견되었다. 따라서 복소수의 역사를 살펴보기에 앞서 3차 방정식 해를 구하는 방법들을 먼저 살펴보는 것이 당연해 보인다.3차 방정식의 유리수 해가 존재한다면 The Rational root theorem을 통해 해를 구할 수가 있다. The Rational root theorem은 3차 방정식 뿐만이 아니라 유리수 해가 존재하는 모든 다항식에 적용된다. 다음과 같은 다항식이 있다고 가정하자.은 정수이다. 이 다항식의 값이 0이 되는 유리수 p/q가 존재하고 p와 q는 공약수가 없는 서로소라고 가정한다.으로 양변을 곱한 뒤 의 항을 수식의 오른쪽으로 이동 시키면 다음과 같은 식을 얻는다. p와 괄호 항의 곱은 이라는 것을 알 수 있다. 따라서 는 p를 인수로..

을 계산해야 한다고 생각해 보자. 백이면 백 다 0의 개수를 세어 그 수를 더한 후 1 다음에 그 개수만큼 0을 붙일 것이다.3+4=7 따라서 10000000 이런 식으로 계산이 할 것이다. 과거 계산기가 없던 시절 곱셈을 위와 같이 덧셈으로 치환해서 편리하게 할 방법이 없을까 고민한 결과가 로그 테이블이었다. 예를 들어 을 계산해야 한다고 했을 때 log 테이블을 이용한 계산 과정은 아래와 같은 현대적 식으로 나타낼 수 있다.로그 테이블에서 33과 78의 로그 값 1.5185와 1.8921 찾은 다음 이 두 수를 합한 3.4106의 값을 다시 로그 테이블에서 찾아 곱셈의 결과 값을 계산했던 것이다. 존 네이피어가 체계적으로 처음 정리한 것인데 존 네이피어는 아래와 유사한 테이블을 직접 손으로 계산해 냈..

아르키메데스 계산법 개요아르키메데스는 아래의 그림과 같이 원의 둘레길이 원주는 내접하는 다각형의 변의 길이와 외접하는 다각형의 변의 길이 사이에 존재한다는 사실을 발견하고 이 다각형을 100각형 가까이 만들어 원주 길이의 근사값을 기원전에 구했다.이 아르키메데스의 원주 계산법은 우리가 를 손으로 계산할 때 쓰는 방식과 다르지 않다. 놀랍게도 오버 슈트, 언더 슈트를 반복하며 일정 값에 수렴하는 이런 시스템은 현대 공학의 핵심 도구이다. 예를 들어 우주로 쏘아 올리는 로켓은 일정 자세를 유지해야 하는데 이를 위해 끊임없이 피드백과 자세 제어를 한다. 하지만 자연계 시스템에서는 한번의 출력으로 원하는 자세를 잡을 수 없다. 따라서 로켓은 자신이 원하는 자세에서 오버 슈트, 언더 슈트를 반복하면 근접한 자세를..

라는 곡선이 있다고 한다면 이 곡선을 만큼 회전했을 때 그 곡선의 방정식을 구하는 문제를 생각해 볼 수 있다. 다시 말하면 아래의 그림과 같이 회전한 곡선의 방정식을 구하고자 하는 것이다.괜히 사람 괴롭힐려고 만든 복잡한 문제 같지만 사실 이 기술은 공학에서 널리 쓰인다. 특히나 로보틱스 분야는 회전에서 시작해서 회전으로 끝난다고 할 수 있다. 실제 응용에서는 위의 그림처럼 2차원 보다는 3차원 좌표 공간 상의 회전이 훨씬 더 많이 다뤄지고 회전 변화에 더해서 위치 이동도 일어난다. 또한 컴퓨터에서 이미지를 회전할 때도 저러한 방식으로 구현이된다. 일반적으로 공학에서 좌표계를 변환하거나 회전할 때는 회전 행렬(Rotation matrix)이라 부르는 행렬식을 사용하여 푼다. 하지만 여기서는 일단 기초적인..

무리수의 발견무리수에 대해 이야기 하기 전에 무리수가 어떻게 발견 되었는지 먼저 살펴보자.다음과 같은 직삼각형이 있다. 이 직삼각형 4개를 아래와 같이 배치하면 정사각형을 만들 수 있다. 또한 이 직삼각형의 빗변이 형성하는 정사각형 내부의 사각형도 정사각형이 된다.내부 정사각형의 면적은 외부 정사각형의 면적에서 4개의 직삼각형의 면적을 빼면 구할 수 있다. 따라서이제 변 a와 b가 길이가 1인 직삼각형을 생각해 보자.이 직삼각형의 빗변의 길이는 얼마일까? 위에서 구한 공식을 적용하면 다음과 같다. 우리는 이 c의 값을 라고 표시하고 이 수를 루트 2라 부르며 이 수를 무리수라 한다고 기초 교육 과정에서 배웠다. 무리수 값 계산그렇다면 이 수의 실제 소수점 값은 어떻게 구할까? 우리는 그 수가 1보다 크고..