복소수 (Complex number) (2)– Cardano formular

오랫동안 수학적 난제였던 3차 방정식의 일반해가 16세기에 들어와 풀리게 된다. 2차원 숫자인 복소수의 발견을 낳게 되는 3차 방정식의 일반해는 3차원 도형의 부피를 관찰하여 유도되었다. 수의 발견을 돌이켜 보면 유리수까지는 1차원 직선 상에서 발견될 수 있었고 무리수는 2차원 도형인 삼각형을 관찰하는 과정에서 발견되었다. 그런 발견의 역사를 되풀이해 복소수가 3차원 도형의 관찰로부터 발견되었다는 사실은 복소수 이상의 더 고차원적인 숫자가 있다면 아마도 4차원 또는 5차원의 도형으로부터 발견될 것이란 사실을 의미하는 것은 아닐까? 20세기 이전까지는 3차원 그래프를 완벽하게 그려 낼 수 없었던 것과 마찬가지로 강력한 컴퓨터를 보유한 현대에도 완벽한 4차원 도형을 표현할 길이 아직은 없다. 방정식의 일반해도 4차 방정식에 멈췄다. 현재로는 5차 이상의 방정식에서는 일반해가 구해질 수 없는 것으로 알려져 있다.

다음과 같이 길이 한 변의 길이가 t인 정육면제가 있다고 생각해 보자. 그러면 이 정육면체의 부피는 이 된다.

이 정육면체를 다음과 같이 나눈다.

각 조각들의 합도 정육면체 부피 이 되어야 한다. 다음 그림은 각 조각의 부피를 묘사하고 있다.

이 조각들을 다 합치면 다음과 같은 식을 만들 수 있다.

이 식을 정리하면

 depress cubic 이라고 알려진 다음과 같은 형태의 3차 방정식이 있다고 가정하자.

이 3차 방정식과 위에서 유도한 식 사이에 유사점이 존재함을 알 수 있다. x를 t - u 라고 생각하면 다음과 같은 2개의 식을 유도할 수 있다.

           

를 마지막 식에 대입하여 다음과 같이 정리할 수 있다.

언뜻 보기엔 3차식 보다 훨씬 복잡한 6차식의 해를 구해야 하는 것처럼 보이지만 라고 놓으면 식은 2차식으로 다음과 같이 간소화 된다.

우리는 이 식을 2차 방정식 근의 공식에 대입해 풀 수 있다. 그렇게 구한 값을 다시 세제곱근하면 t의 값이 되고 이 t값을 에 넣으면 u의 값을 구할 수 있다. x의 값은 이렇게 구한 t, u의 값을 x = t - u 식에 넣어 구하면 된다. 이런 아이디어를 바탕으로 카르다노를 비롯한 16세기 여러 명의 수학자들은 depress cubic 식 의 일반해 공식을 구해냈다. Cardano formular라고 알려진 depress cubic 의 일반해 공식은 아래와 같은 대단히 복잡한 식이 된다.

이 식을 이용해 일반 3차 방정식 의 해를 구할 수 없다면 3차 방정식 일반해 공식이라고 볼 수 없다. 하지만 14세기 수학자들은 이미 일반 3차 방정식 를 x축으로 만큼 수평 이동시키면 depress cubic식 이 된다는 사실을 발견했었다. 이런 사실은 17세기 치른하우스에 의해 증명되고 오늘날 치른하우스 변형(Tschirnhaus Transformation)이라 불리는 다항식의 일반 속성이다. 따라서 일반 3차 방정식으로 식이 주어지면 depress cubic식으로 식을 변환한 다음 카르다노의 공식에 따라 해를 구하고 그 x값을 다시 만큼 수평 이동 시켜 원 방정식의 해를 구하면 되기 때문에 카르다노의 공식은 모든 3차 방정식의 해를 구할 수 있는 3차 방정식의 일반해 공식으로 볼 수 있다. 

이 글은 다음 동영상의 내용 바탕으로 내용을 정리한 것이다. 개인적으로 간명하고 훌륭한 강의라고 생각하기에 가능하면 시청하기를 권장하고 싶다.