e 의 역사와 ln x가 자연로그라 이름 붙여진 이유

을 계산해야 한다고 생각해 보자. 백이면 백 다 0의 개수를 세어 그 수를 더한 후 1 다음에 그 개수만큼 0을 붙일 것이다.

3+4=7 따라서 10000000 이런 식으로 계산이 할 것이다. 과거 계산기가 없던 시절 곱셈을 위와 같이 덧셈으로 치환해서 편리하게 할 방법이 없을까 고민한 결과가 로그 테이블이었다. 예를 들어 을 계산해야 한다고 했을 때 log 테이블을 이용한 계산 과정은 아래와 같은 현대적 식으로 나타낼 수 있다.

로그 테이블에서 33과 78의 로그 값 1.5185와 1.8921 찾은 다음 이 두 수를 합한 3.4106의 값을 다시 로그 테이블에서 찾아 곱셈의 결과 값을 계산했던 것이다. 존 네이피어가 체계적으로 처음 정리한 것인데 존 네이피어는 아래와 유사한 테이블을 직접 손으로 계산해 냈다.

0	1
0.001	1.00010000
0.002	1.00020001
0.003	1.00030003
0.004	1.00040006
...	...

로그 함수 정의에 따라인데 이 테이블에서 X가 1이 되는 값이 무엇인가 찾아 보았더니 현대의 e 값(2.7183)과 유사한 값이었다.  하지만 그 당시에는 아직 이 수의 중요성을 인식하지 못 했다.

이 상수 값은 다시 한 번 수학 역사에 등장하는데 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)의 복리 계산 문제를 고민하는 과정이었다. 베르누이는 1년에 총 100%의 복리를 적용했을 때 최대 수익이 얼마가 될지 궁금했었다. 이를테면 이런 식이다. 연말에 복리 100%를 한번에 적용했을 때는 1+1=2가 된다. 하지만 6개월씩 나누어 0.5%씩 복리를 적용하면 1+0.5 + (1+0.5)*0.5 =2.25 된다. 이런 식으로 계속 복리를 나누어 적용했을 때 얼마나 수익이 증가 되는지 궁금했었던 것이다. 이런 복리 수익을 구하는 식은 다음과 같다.

최대 수익을 올리기 위해서는 n이 무한대가 되면 된다.

바로 이 식이 현대적 e값의 정의이다. 하지만 아직 이 e의 값은 e라고 표기하지도 않았고 ln x를 자연 로그라고 부르지 않았다. e를 밑수로 하는 로그 값이 수학적 중요성을 가지게 된 이유는 미적분과 관련이 있다. 자연로그 ln x가 미적분에 특이한 성질을 보인 것이다. 그런 성질 덕분에 미적분 풀이를 단순하게 만들었고 수학적으로 중요한 도구가 되었다. 로그 ln x가 미적분을 왜 단순하게 만드는지 이해하기 위해서는 로그의 밑변환(Change of base) 성질을 알아야 한다. 밑변환 공식은 다음과 같다.

즉 모든 로그는 임의 수를 밑변으로 하는 로그 식으로 다시 쓸 수 있다는 것이다. 따라서 만일 ln x가 미적분에서 특별한 성질로 해를 단순화 할 수 있다면 미적분에 나타나는 모든 로그들을 자연 로그로 변환해 해결하면 된다.

우리가 일반적으로 사용하는 수 체계가 10진법을 기반으로 하기 때문에 일반 로그 이 자연스러워 보이지만 는 미적분의 해를 구할 때 편리한 도구를 제공해 주지 않기 때문에 자연 로그보다 중요성이 떨어지고 그런 이유로 e를 밑수로 하는 로그가 자연로그(natural logarithm)란 이름을 부여 받았다.

e를 밑수로 하는 지수함수 도 다른 수를 밑수로 하는 지수함수와 구별되는 특별한 성질이 있다. 바로 모든 지수함수가 통과하는 T(0,1)에서 접선의 기울기가 1이 된다는 사실이다. e보다 작은 값을 밑수로 가지는 지수 함수의 T(0.1)에서의 접선의 기울기는 1보다 작고 e보다 큰 값을 밑수로 하는 지수 함수는 점 T(0.1)에서 접선의 기울기가 1보다 크다.

자연로그가 미적분에서 중요한 이유는쌍곡선 함수와 연관이 있다. 자연로그 값은 저 쌍곡선 함수의 면적과 같다.  이 말을 수학적인 적분의 식으로 다시 쓰면

이 적분 공식에서 다음과 같은 미분 공식이 바로 성립한다.

바로 이 식으로부터 자연로그와 다른 로그들을 나누는 중요한 여러가지 미적분 공식들이 계속 이어진다. 

수학 상수 e는 파보나치 수열과 함께 자연적 현상과 별로 큰 관련 없어 보이는 수학적 퍼즐들이 실제로는 여러 다양한 곳에서 발견되고 쓰일 수 있다는 것을 보여주는 한 사례이다.

미적분학과 오일러 상수 e는 복소수와 더불어 고등학교에서 배우는 가장 최신의 수학적 도구이다. 삼각함수가 기원전에 발견된 것에 비하면 이런 기술들은 기껏해야 400~500년 전에 발견, 개발되었다. 일상에서도 많이 쓰지 않아 기호들이 위협적이지만 이 수학적 도구들로 수많은 공학적 발전을 이루어냈다. 공학도가 되고자 한다면 덧셈과 뺄셈만큼 익숙해져야 하는 수학적 도구들이다. 오일러 상수 e는 미적분학을 넘어 복소수에서도 또 한번 라는 공식으로 우리를 괴롭힌다.