복소수 (Complex number) (1)– The Rational root theorem

복소수는 3차 방정식의 일반해를 구하는 과정에서 발견되었다. 따라서 복소수의 역사를 살펴보기에 앞서 3차 방정식 해를 구하는 방법들을 먼저 살펴보는 것이 당연해 보인다.

3차 방정식의 유리수 해가 존재한다면 The Rational root theorem을 통해 해를 구할 수가 있다. The Rational root theorem은 3차 방정식 뿐만이 아니라 유리수 해가 존재하는 모든 다항식에 적용된다. 다음과 같은 다항식이 있다고 가정하자.

은 정수이다. 이 다항식의 값이 0이 되는 유리수 p/q가 존재하고 p와 q는 공약수가 없는 서로소라고 가정한다.

으로 양변을 곱한 뒤 의 항을 수식의 오른쪽으로 이동 시키면 다음과 같은 식을 얻는다.

p와 괄호 항의 곱은 이라는 것을 알 수 있다. 따라서 는 p를 인수로 갖는다.  우리가 처음에 p와 q는 1을 제외하고는 공통 인수가 없는 서로소라고 가정했으므로 p는 의 인수가 된다.

항 대신에항을 이동 시키면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

마찬가지 이유로 q는 의 인수가 되어야 한다.

즉 3차 방정식의 유리수 해 p/q가 존재한다면 위의 The Rational root theorem에 의해 p의 값은 d의 인수가 되고 q는 의 계수 a의 인수가 된다.

예)

p의 값은 2의 인수 -2, -1, 1, 2 중에 존재해야 하고 q의 값은 3의 인수 -3, -1, 1, 3 중에 존재해야 한다. 정리하면 위 다항식의 유리수 해의 후보군은 다음과 같다.

이 값 중에 유리수의 해가 존재하는지 존재한다면 어떤 값이 유리수의 해인지는 각각의 값을 단순하게 다항식에 넣어 조사해 볼 수도 있고 조립제법(synthetic division)을 통해 시험해 볼 수 있다. 아래의 동영상은 조립제법을 통해 유리수의 해를 찾는 법을 보여준다.