무리수의 발견과 증명

무리수의 발견

---

무리수에 대해 이야기 하기 전에 무리수가 어떻게 발견 되었는지 먼저 살펴보자.

다음과 같은 직삼각형이 있다.

이 직삼각형 4개를 아래와 같이 배치하면 정사각형을 만들 수 있다. 또한 이 직삼각형의 빗변이 형성하는 정사각형 내부의 사각형도 정사각형이 된다.

내부 정사각형의 면적은 외부 정사각형의 면적에서 4개의 직삼각형의 면적을 빼면 구할 수 있다. 따라서

이제 변 a와 b가 길이가 1인 직삼각형을 생각해 보자.

이 직삼각형의 빗변의 길이는 얼마일까? 위에서 구한 공식을 적용하면 다음과 같다.

우리는 이 c의 값을 

라고 표시하고 이 수를 루트 2라 부르며 이 수를 무리수라 한다고 기초 교육 과정에서 배웠다. 

무리수 값 계산

---

그렇다면 이 수의 실제 소수점 값은 어떻게 구할까? 우리는 그 수가 1보다 크고 1.5보다 작은 값이란 것을 어림짐작 할 수 있다. 따라서 1과 1.5의 중간값 1.25를 취해 제곱을 해 보자

다시 우리는 위의 결과로 루트 2의 값은 1.25와 1.5 사이에 존재한다고 추정할 수 있다. 이번에는 1.25와 1.5 사이의 정확히 중간이 아닌 1.5 에 치우친 값을 선택해 보자. 중간 값은 1,375이므로 다음 계산할 값으로 1,475를 일단 선택하자. 

우리는 더 한층 2의 근사값에 가까워 졌다. 다시 1.375와 1.475의 중간값에서 1.375에 조금 치우친 값을 선택해 보자. 1.4를 선택한다. 

우리는 이제 루트 2의 값이 1.4와 1.475 사이에 존재함을 안다. 그 중간값에서 이번에는 1.475로 조금 치우친 값 1.4475를 선택해 보자

이런 방식으로 계속해서 제곱 값이 2에 근접하는 루트 2의 근사 값을 계속 구해 나갈 수 있다.

는 유리수가 아니다.

---

이제 가 유리수가 아님을 증명해 보자.

만일 가 유리수라고 가정하면 유리수 정의에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.  p와 q는 둘 사이에 공약수가 없는 정수이다. 

임의 정수에 2를 곱하면 그 수는 항상 짝수가 된다. 따라서 p의  제곱은 짝수가 되어야 하는데 짝수의 제곱은 짝수, 홀수의 제곱은 홀수이기 때문에 p는 짝수이다.

홀수의 제곱은 홀수라는 사실을 우선 증명해 보자. 홀수는 2k+1라고 다시 쓸 수 있다. 이 수의 제곱은 아래와 같다.

오른쪽 항에서 4가 곱해진 앞의 두 수는 짝수일 수밖에 없다. 따라서 짝수에 1이 더해진 수는 홀수이므로 홀수의 제곱은 홀수임을 알 수 있다.

짝수 p는 2m으로 다시 표시할 수 있다. p=2m으로 위의 식을 다시 쓰면

따라서 q의 제곱은 m의 제곱에 2배수임을 알 수 있다. 따라서 q 는 짝수가 된다. p 와 q 는 짝수이므로 둘 다 2로 나눠진다. 하지만 우리가 처음 시작할 때 p 와 q는 공약수가 없는 정수라고 가정을 했기 때문에 가정과 결과가 모순이 된다. 따라서 루트 2가 유리수라는 가정이 틀렸음이 증명됐다. 따라서 루트 2는 유리수 와는 성질이 다른 새로운 성질의 수라는 사실을 알 수 있다.

유리수는 정수, 유한 소수, 순환 소수이고 무리수는 무한 소수이다. 유리수 와 무리수는 동일하게 실수 선 위의 임의 두 수 사이에서 무한히 많이 존재하지만 서로 겹쳐지지 않는 수들이다.