복소수 (Complex number)(4) - 회전하는 2차원 숫자

2차원 회전 숫자

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복소수 발견 이전까지 인류는 숫자를 1차원이라고 생각했다. 즉 직선 위에 위치하는 하나의 점이라고 여겼던 것이다. 이런 개념은 인류 문명사의 대부분의 기간을 지배했었다. 복소수 이전에 사람들이 생각하던 숫자의 모습을 그림으로 표현하면 아래와 같다.

고도로 과학 기술이 발전한 현대에서도 일상에서 수학적 문제를 다룰 필요가 없는 사람들은 아직도 숫자가 저렇게 직선 위의 한 점이라고 생각한다. 그만큼 1차원 숫자는 대부분의 일상적인 직관과 잘 일치한다. 하지만 17세기 복소수의 발견을 시작으로 19세기 기하학적 정의를 거치면서 이런 숫자의 개념을 변화 시켰다. 흔히 말하는 벡터도 이런 다차원적 숫자 중 하나로 볼 수 있다.  벡터는 복소수에서 연구에서 파생된 결과물로 벡터와 결합된 행렬 연산은 가장 컴퓨터 친화적인 수학적 알고리즘 중 하나이다. 아르강(Jean-Robert Argand), 가우스 (Gauss) 에 의해 표현된 복소수의 기하학적 모습은 아래와 같다.

복소수의 이런 2차원적 기하학적 방법론을 적용해 1차원 숫자인 실수 (rational number)도 다르게 해석할 수 있다.를 생각해 보자. 이 연산의 결과 값은 -2이다. 복소수 이전까지 수학자들은 이 연산을 실수 선상에서 숫자가 왼쪽으로 이동한 것으로 생각했다. 

하지만 이 연산의 결과를 직선 이동으로 보지 않고 2라는 숫자가 2차원 평면 상에서 180도 회전했다고 생각할 수도 있다. 그리고 이런 해석이 직선 이동보다 훨씬 더 논리적이라고 볼 수 있다. 기존 개념대로 직선 이동했다고 생각했을 때 2라는 숫자에 -1을 곱했을 뿐이데 원래 숫자와 총 4의 숫자 차이가 나는 것을 설명할 수 없기 때문이다. 대신에 우리가 마이너스( - ) 사인을 180도 숫자를 회전 시키는 연산자라고 생각한다면 의 연산이 기하학적으로 훨씬 더 잘 설명된다.

이런 기하학적 해석에 따르면 숫자 2는 그 값은 변하지 않고 단지 위상만 180도 회전한 것이 되고 이런 해석은 대수식과 일치한다. 이런 해석을 복소수에서 적용하면 허수 값 i를 2에 곱하면 숫자 2는 180도 회전하는 것이 아니라 90도 회전하다고 볼 수 있다. 이런 기하학적 해석은 대수식과 잘 맞아 떨어진다. 왜냐하면 허수  i는 그 정의에 따라 이기 때문이다. -1이 2차원 평면 상에서 숫자를 180도 회전 시킨다면 허수 i는 그 값의 1/2인 90도 만큼 회전 시킨다고 볼 수 있기 때문이다. 이 기하학적 의미를 이해하는 것이 복소수를 이해하고 응용하는데 가장 중요한 기반이 된다.

복소수의 곱셈과 드무아브르의 정리 (de Moivre’s theorem)

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드무아브르의 정리는 다음과 같다.

그런데 사실 이건 복소수의 곱셈의 기하학적 의미를 이해한다면 정리라고 부를 필요도 없이 당연한 결과이다. 정리라고 부를 정도로 중요성이 있다고는 생각되지는 않지만 복소수 연산을 하는데 외워두면 상당히 편리한 것 또한 사실이다.

복소수의 곱셈이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는 이해하기 위해 복소수 값 A=1+i 와 B=-1+2i가 있다고 가정하자.

의 값은 이전 봄벨리의 허수 연산 글에서 확인한 바와 같이 일반 실수 연산 과정을 따라 구해 내면 된다. 

이 연산의 결과를 아르강 평면 (복소 평면)에 그리면 다음과 같다. 즉 결과 값은 복소수 A값의 절대 값()에 복소수 B의 절대 값()을 곱한 값()이 복소수 C의 크기가 되고 그 C의 회전 각은 A의 회전 각(α)에 B의 회전 각(β)을 더한 값(γ=α+β)이 된다.

다시 드무아브르의 정리로 돌아가자. 식의 의미는 어떤 복소수 값을 거듭제곱을 했다는 말이다. 자신의 값으로 여러 번 곱했다는 말인데 복소수 곱셈의 정의에 따라 그 결과 값은 자신의 회전 각의 n번 더한 각 만큼 회전하고 자신의 절대 값의 n 거듭 제곱의 값이 그 결과 값의 크기가 된다는 것을 알 수 있다. 그런데 의 절대 값은 삼각함수 정리에 따라 이다.  따라서 크기는 고려할 필요가 없이 회전 각만을 생각하면 된다.결과 값의 회전 각은 의 회전 각 θ의 n 배이다. 따라서 가 된다. 이와 유사한 방식으로 삼각함수의 다른 정리들도 복소수를 이용해 다르게 증명할 수 있다.

드무아브르의 정리가 아르강 평면으로 복소수를 표현했을 때는 당연한 결과이긴 하지만 드무아브르가 이 정리를 발표했을 때는 아직 아르강 평면에 대한 연구가 알려지기 전이었다.  다시 생각해 보면 아르강 평면은 이런 복소수의 대수적 연구 결과를 기하학적으로 종합했다고 볼 수 있다.

이 드무아브르의 정리의 역사에는 다시 물리학과 수학의 천재의 이름이 등장하는데 바로 아이작 뉴턴이다. 드무아브르가 이것을 정리해 발표하긴 했지만 드무아브르는 이 정리의 등가식을 뉴턴이 이미 20년 전에 알고 있었다고 말했었다.

복소수의 덧셈과 뺄셈

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복소수의 덧셈과 뺄셈은 복소수의 곱셈만큼 복소수 연구에서 기하학적으로 큰 의미를 갖는 것은 아니지만 복소수 덧셈과 뺄셈은 그대로 벡터의 덧셈과 뺄셈으로 연결된다. 덧셈을 기하학적으로 표현하면 아래 그림과 같다.

이런 기학적 해석은 2차원 벡터의 합과 일치한다. 

복소수의 뺄셈의 기하학적 해석은 아래 그림과 같다. 두 복소수의 뺄셈의 결과 값의 크기는 두 수 A와 B 사이의 거리이고 그 방향은 A에서 B값을 빼는지 B에서 A 값을 빼는 지에 따라 정해진다.

복소수의 뺄셈 또한 2차원 벡터의 뺄셈의 기하학적 해석과 일치한다.

복소수 지수함수

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복소수의 사칙 연산은 비교적 대수적 풀이가 단순하다. 하지만 같은 값을 연산하고자 했을 때는 단순히 기존 수학적 상식으로 해를 구할 수가 없다. 이 값은 미적분과 테일러 시리즈의 도움을 받아야만 해결이 된다. 도대체 라는 값은 무엇을 의미하는 것일까? 이 난제를 오일러가 해결했다. 덕분에 오일러는 수학 역사에서 가장 유명한 수학자 중 한 명이 되었다.  

오일러는 지수 함수와 삼각 함수의 테일러 시리즈 등가 식을 관찰하던 중 유사성을 발견한다.

위의 테일러 시리즈를 보면 지수 함수 와 삼각함수 가 밀접하게 관련이 있음을 알 수 있다. 오일러는 x 값 대신에 iz값을 에 대입했다.

바로 이 식이 그 유명한 오일러 공식이다. 그리고 이 공식으로 인해 복소 지수의 미스테리가 풀리게 된다. 는 2πi에서 단위 크기의 복소수를 360도 회전 시킨다. 는 얼마나 회전할까? 단위 라디안 값에 따른 회전량은 밑수와 관련이 있다.  즉 다음과 같은 식으로 의 회전량을  계산할 수 있다. 밑수 값과 e값과의 비율에 따라 회전 각이 비례하면 다음과 같은 식을 써서 회전 각을 구할 수 있다. 

즉 는 약 662도 만큼 회전한다.

복소수 로그 함수

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복소 지수를 정의 할 수 있다면 로그 값도 정의 할 수 있다. ln(x + iy) 값을 생각해 보자. 복소수 x+iy 값은 이제 복소수의 크기 값 r과 복소수의 회전 각을 나타내는 오일러 공식의 조합으로 표현할 수 있다. 

 

ln(x + iy)에 이 값을 대입하면

위의 식은 우리가 알고 있는 x와 y 값에 따라 복소수 값을 일반적인 수학 연산으로 완전히 계산해 낼 수 있다.

복소수 값을 갖는 방정식

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이라는 단순한 2차 방정식은 x와 y를 복소수 값을 확장하면 완전히 다른 의미를 지닌다. 실수 값일 경우 이 방정식은 2차원 평면 상에 그래프를 간단하게 그릴 수가 있다.하지만 이 방정식의 변수가 복소수라면 완전히 이야기가 달라진다. 이 방정식의 그래프는 입력 값이 2차원이고 출력 값도 2차원이기 때문에 4차원 그래프가 된다. 이런 복소 방정식의 그래프를 그리는 조금은 무미건조하지만 완벽한 해석을 할 수 있게 그래프로 표현하는 고급 기술들이 존재하지만 여기에서는 단순히 y=u+vi라고 했을 때 y의 u값을 취하여 3차원 그래프로 그리는 방식을 선택하기로 했다. 좀 무식한 방법이고 불완전한 해석이지만 그래프는  다른 고급 기술에 비해 대단히 아름답다. 

많은 수학자들이 아쉬워하는 허수라는 명칭은 다항식의 해에 대한 고찰을 담은 데카르트의 (Ren ́e Descartes)의 1637년 논문에서 등장했다. 이 논문에서 데카르트는 어떤 다항식이든 다항식의 차수만큼 근이 존재한다고 썼다. 단지 그 값이 항상 실제 수치를 가지는 것은 아니라고 했다.

“For any equation one can imagine as many roots [as its degree would suggest],

but in many cases no quantity exists which corresponds to what one imagines.”

데카르트의 이 주장은 반은 맞고 반은 틀리다. 모든 다항식은 그 다항식의 차수 만큼 근이 존재하고 그 근의 값도 분명 존재하는 값이다. 도 실수 선 상에서는 근이 존재하지 않는다. 하지만 허수 값 i, -i에서 해가 존재한다. 위의y=u 그래프에 허수 값 v=0이 되는 값을 파랑색 선으로 표시하고 u=0의 평면을 추가하면 다음과 같은 그래프가 된다.  파랑색 선과 u=0의 평면이  맞는 지점이 바로 이 방정식의 해가 된다.

복소수의 응용

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복소수는 지금까지 살펴 보았듯이 위상과 밀접한 관련이 있는 수이고 따라서 복소수가 가장 흔히 사용되는 곳도 위상을 다루는 분야이다.  예를 들면 교류 전류가 인덕터나 커패시더를 통과하면 전압의 위상이 90 도, -90도 변한다. 고압 교류 전류에서는 이 인덕터와 커패시더가 직류 전류의 저항과 유사하게 동작하기 때문에 저항, 인덕터, 컨덴서, 저항 값을 통합하여 위상 값을 지닌 복소수 값인 임피던스라는 값으로 치환해 해석을 단순화 시킨다. 입자 물리학에서도 입자가 위상을 지니기 때문에 입자의 특성을 해석 하는데 복소수가 사용되면 신호처리 분야에서 주파수를 해석하는 푸리에 변환과 같은 곳에서 쓰인다.

복소수를 이용해 계산했을 때는 단순히 해를 구한 과정 만을 이해해서는 안된다. 결과 값의 물리적 의미를 해석할 수 있어야 해를 구했다고 할 수 있다. 그리고 그 해석의 대부분은 복소수의 기하학적 의미와 연결되어 있다.