삼각함수를 새롭게 정의하는 Taylor series

Taylor series(테일러 급수)는 함수를 다항식의 합으로 근사화한 식을 말한다. 함수에 따라 제한된 범위 안에서만 Taylor series가 성립할 수도 있고 전체 실수나 복소수 범위에서 Taylor series가 성립할 수도 있다. Taylor series의 정의는 다음과 같다.

그닥 쓸모없어 보일지도 모르지만 삼각함수를 해석하는데 중요한 역할을 담당한다. Taylor series 덕분에 복소 지수를 정의하는 오일러 공식이 탄생할 수 있었다. 그리고 오일러 공식 덕분에 cos, sin 함수는 복소수 형태로 다시 표현 될 수 있었다. 복소수 형태로 표현하지 않았다면 계산하기 불가능했을 식을 계산해 낼 수 있었고 복잡하게 sin, cos으로 구성된 식을 복소수 형태로 식을 단순화 시켰다. 또는 같이 antiderivative가 존재하지 않는 함수의 적분도 Taylor series를 사용하여 처음 계산(Fresnel integral)했었다.

Taylor series는 직관적인 선형 근사로 시작하여 2차, 3차, 4차 다항식으로 확장된다. Taylor series 근사식 결과만을 처음 접했을 때는 어디서 나왔는지 짐작하기 어렵지만 선형 근사부터 차근 차근 아이디어의 확장을 따라가면 함수의 Taylor series 등가식을 찾는 것이 그렇게 어렵지만은 않다.

linear approximation (선형 근사)

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Taylor series는 linear approximation(선형 근사)에서 출발했다. Taylor series가 처음 보았을 때 조금은 느닷없이 나타난 것처럼 보이는 것과는 달리 linear approximation는 기하학적인 면에서 훨씬 직관적이다. 미분의 정의에 의해 함수 x=a에서 f(x)의 미분 값은 점 (a, f(a))를 통과하면서 곡선 f(x)의 접선인 직선의 기울기이다. 기울기와 직선이 통과하는 점으로 표현한 직선의 방정식은 다음과 같다.

그러므로 점 (a, f(a))에서 함수 f(x)의 접선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

접선의 방정식의 기울기 m은 f'(a)이다. 따라서 기울기 m 대신에 f'(a)를 대입하면

위의 그림에서 볼 수 있듯이 (a, f(a)) 부근에서 함수 f(x)와 접선의 값이 대단히 유사하다. 함수의 변화율에 따라 함수 f(x)와 접선의 차가 오차 범위 안에 존재하는 x값의 범위가 달라질 수는 있지만 접선과 함수 f(a)는 점(a, f(a)) 부근에서 일치한다고 말할 수 있다.

linear approximation(선형 근사) 중에서도 x=0인 지점에서 linear approximation(선형 근사)는 다음과 같은 식으로 간소화 된다.

quadratic approximation (이차 근사)

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cos(x)의 x=0에서의 1차 근사는 위의 그림에서 빨강색 선으로 표시되고 있다. 0을 제외한 지점에서는 1차 근사가 만족스런 근사 값을 제공해 주지 못하는 것을 볼 수 있다. 이럴 때 2차 근사를 할 수 있다. 즉 2차 다항식으로 근사 값을 찾는 것이다. 하지만 1차 근사가 미분의 정의로부터 쉽게 찾아지는 것과는 달리 2차 근사는 아주 직관적이지는 않다. 일단함수 f(x)의 2차 근사된 방정식이 다음과 같다고 생각해 보자.

일차 근사식이 일차 다항식을 완벽히 묘사 할 수 있는 것과 마찬가지로 이차 근사식은 2차 다항식 f(x)를 정확히 묘사할 수 있어야 한다. 2차 다항식 f(x)가 다음과 같을 때

일차 항의 계수(coefficent)는 정확히 f'(0)과 일치함을 볼 수 있다.

근사 식의 2차 항의 coefficent도 원본 식의 coefficent와 같아야하므로 A 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

따라서 2차 근사식은 다음과 같다.

Taylor series (테일러 급수)

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Taylor series 공식은 이차 근사에서 2차 항의 weight 값을 구하는 방식과 동일한 방식으로 3차,  4차 항의 weight 값을 계속 찾고 패턴을 정리한 결과 값이다. 이 공식을 이용해 a가 0일 때 sin(x) 함수의 Taylor series 등가식을 쉽게 구할 수 있다.

Taylor series의 여러 등가 함수 중 특히 e^x, sin(x), cos(x) 함수는 모든 실수, 허수 범위에서 등가 식의 값과 원 함수의 값이 일치한다. Maxima프로그램을 사용해 출력한 아래의 그림은 Taylor series의 sin(x) 등가 함수가 다항식의 차수가 높아짐에 따라 sin(x)에 접근하는 모습을 보여준다.

f: sin(x)$
tf: 0$
for i:1 thru 21 do(
    if (mod(i, 2) = 1) then ( 
        tf: tf + (subst(0, x, diff(f, x, i))/i!)*x^i,
        fname: concat("img/taylor", i, ".png"),
         plot2d( [f, tf],
            [x, -2*%pi, 2*%pi],
            [y, -1.5, 1.5],
            [plot_format, gnuplot],
            [gnuplot_term, png],
            [gnuplot_out_file, fname] )
   )
);

지금까지 linear approximation과 Taylor series에 대해 살펴 보았다. 특히 linear approximation은 공학에서 자주 쓰이는 근사법이다. 반도체의 성능이 획기적으로 발전했다고는 하지만 임베디드 시스템에서 복잡한 수학 연산을 하는 것은 언제나 부담이 되기 때문이고 실제 응용에서는 선형 근사에서 발생하는 오차가 큰 문제가 되지 않기 때문이다. 또한 선형 근사는 integral(적분)을 해석하는 시발점이므로 크게 어려운 개념은 아닐지라도 깊게 고민해 볼만한 가치가 있다.